Ежи Медушевский. Внутренние истоки математики

79 просмотров всего, 1 просмотров сегодня

Ежи Медушевский. Математик, историк математики

 

 

 

 

 

 

В юности меня ослепил, но не увлёк блеск логицизма.
Хотя старые философы писали туманно,
но логически безупречно и более содержательно.

Томаш Грабиньский — alter ego автора

Ритм чисел

Locum математики — это «мир S наших мыслей». Это выражение из известной, хоть и небольшой и не в полной мере оцененной матема­тиками работы Рихарда Дедекинда «Was sind und was sollen die Zahlen?» («Что такое числа и для чего они служат?») (1888).

Мысль — это определённый элемент мира 5. Ум не в состоянии отре­шиться от «мысли об этой мысли», а значит, и от «потока мышления», ко­торый подобен потоку чисел. Дедекинд не сразу пришёл к этому выводу. Он написал десятки страниц, чтобы из потока мышления вычленить ту ми­нимальную струю, которую образуют натуральные числа. Он не называл никаких конкретных чисел, но только ритм индукции, пронизывавший его мир S, который бесконечен: переместив одну мысль, мы вновь получим тот же мир S. У Дедекинда числа не являются ни плодом времени, ни про­странства в их физической интерпретации, как у Канта.

Это небольшое произведение Дедекинда явилось потребностью того времени. Складывается впечатление, что оно было продумано задолго до публикации. Дедекинд, студент Гаусса, был свидетелем зарождения и сам выступил творцом понятий абстрактной алгебры, которая вышла из известной системы натуральных чисел. Предметом алгебры стало мно­жество, элементы которого можно складывать и умножать по определён­ным правилам. Примером были комплексные числа Гаусса, показавшего, как ранее известное для них исчисление можно превратить в формальную систему. Но вскоре сам Гаусс, а потом П. Лежён Дирихле нашли новые алге­браические системы. В этих системах не всегда два плюс два равно четырем. Понятие множества смягчило чёткие алгебраические понятия, подобно тому, как когда-то греческая геометрия, подчинив себе числа, и обосновы­вая действия над ними, расширила сферу математического влияния на но­вые области. От античной математики понятие числа развивалось к непре­рывной величине, которая вошла в повседневный обиход в математическом анализе, созданном Ньютоном. В наше время числа составляют непре­рывное множество — континуум, — первоначально существовавший в ма­тематике интуитивно, и окончательно описанный строго арифметически языком множеств. Леопольд Кронекер полагал, что основой всех числовых систем являются натуральные числа, — по его словам, они необъяснимы, так как их создал Господь Бог. Не исключено, что размышления Дедекинда были вызваны этим провокационным заявлением. Дедекинд, как математик и серьёзный философ, понимал, что в таких вопросах не нужно затруднять Господа Бога. Вот и теперь в поисках решения он будет обеспокоен зага­дочным ритмом индукции, играющим главную роль в его понимании числа. Было опасение попасть в ловушку мыслительных автоматизмов. Джузеппе Пеано почти сразу заменил концепцию Дедекинда аксиоматической, что затмило философский аспект достижения Дедекинда.

Понятия, о которых размышлял Дедекинд, находятся вне времени. Они были бы бесследно потеряны, если бы не произрастали на почве развитой немецкой философии. Выражение «мир наших мыслей» не со­чинено Дедекиндом. Оно встречается у Бернарда Больцано. Однако Де­декинд не ввёл бы этого «S», если бы оно было чем-то неопределённым. Мы не используем символ для чего-то неопределенного. По Дедекинду по­лучается, что мир S, который, несмотря на то что мы о нём ничего не знаем, просто существует. В отличие от мысленных конструкций, наполняющих его, сам он не является мысленной конструкцией. Здесь есть нечто общее с Евклидом. Нам легко мысленно освоить фигуры, но не само простран­ство, которое Евклид не вводил в свои рассуждения.

Размышления Дедекинда привели его к выводу, что в нашем мышлении могут возникать определённые структуры, не зависящие от внешних раздра­жителей. Наш ум небеззащитен в мире. Мы задаём миру ритм последствий и видим его как бесконечность, не спрашивая мира, желает ли он такого по­нимания. Макс Шелер где-то написал, что мы живём наперекор миру.

Является ли ритм, проявленный в мире S, фрагментом чего-то боль­шего, можно только догадываться. Подчинит ли его себе целостность? Это ритм последствий. Но нам также знакомы созерцания, когда мысль течёт непрерывно. Однако мы выделяем некоторые состояния и формулируем суждения, которым придаём форму мнений. В некоторых ситуациях нам нужны только их формы, подчинённые требованиям логики. Но хотя наше мышление представляется непрерывным, оно выражается в форме мне­ний, которые образуют как бы его атомы. Атомизм мышления — великая загадка нашего мира S. Именно он даёт нам контакт с миром и не допускает замыкания в себе.

Выразительность заключена в отдельных сигналах, но при этом что-то теряется и не отражается полностью. Наверное, с этим согласится ора­кул современных философов математики Людвиг Витгенштейн, по сло­вам которого язык имеет некоторые естественные ограничения. Чтобы их преодолеть, прибегают к внетекстовым формам выражения эмоций и обращаются к символизму поэзии, воспроизводящей целые комплексы ощущений.

Поток мышления, данный нам в виде индуктивной последовательно­сти, не сопровождается непосредственным отражением. Этот поток слов­но рядом с нами. Мы не властны над ритмом нашего мышления. Как пишет Андрей Белый, вдохновлённый математической философией своего отца Николая Бугаева, «мысль сама себя мыслит». Поток сознания это не толь­ко последовательность чисел, но и иные известные последовательности. Вспомним поток мыслей в «Герцоге» Сола Беллоу, или в «Корректуре» То­маса Бернхарда. Мы не можем исключить себя из этого потока и должны научиться им управлять. Алексис Каррель пишет: «Человек должен создать покой в себе самом»1. Великий учёный не писал, чем могла бы стать такая направляющая сила ума, но она находится в нас самих.

Наперекор миру

В XX веке шум по поводу оснований математики как фундамента зда­ния надолго заглушил идею Дедекинда. Прошло немало времени, пока в своих размышлениях автор нашёл современную поддержку этой мысли. Если отвлечься от архитектурной аналогии, более удачным кажется иной взгляд на природу познания: математика живёт по своим законам, подчи­нена некоторому смыслу, к которому мы должны присмотреться. Многое даёт повседневная математическая практика. Этот снисходительный взгляд позволяет развить некую приемлемую мифологию, допускающую доступ­ные умозрительные построения.

Мир S щедрее, чем дары ритма индукции. Мы дети Дня Шестого. Тог­да мы получили в дар новый способ контакта с миром и сознание, чтобы почувствовать своё бытие, почувствовать наше отличие от того, что во­круг нас, и в то же время чувство общности с окружающим. Тогда нам были даны чувства, которые позволяют размещать в мире S образы, полученные из внешнего мира. Мир S не ограничивается их созерцанием, но заменя­ет эти образы свойственными конструкциями. Наблюдая за образованием понятий, может показаться, что мы не доверяем чувствам. Прежде чем соз­давать собственную конструкцию, мир S проверяет одно чувство другим, не довольствуясь одной стороной явления.

Вот он создаёт понятие круга, форма которого навеяна другим «кру­гом» из внешнего мира. Созерцая эти «круги», мы уже подготовлены к ожиданию. Долгое время мир S довольствовался одним кругом, прежде чем открылись иные его аспекты. Оказалось, что он не просто круглый, а ещё и определяет дугу, по которой движется точка. И круг может катить­ся. Понятие обогащается и становится всё более востребованным.

Построение, с помощью которого мир S осваивает отобранные обра­зы, не является вещью в себе в смысле Канта. Проникая в него, наша мысль может что-то нарушить. Поэтому наш контакт с этим нашим собствен­ным построением по природе антиномичен. Это, однако, не относится к встроенному в мир S числовому ритму, который не постигается мыслью. Мы не нарушаем числа, когда их используем.

При контакте с внешним миром обычно делают упор на его позна­ние. Это точка зрения науки, которая будет здесь в дальнейшем преобла­дать, но не потому, что мы к ней привержены, а потому, что фактически цивилизация так устроена. В то же время мы этот мир переживаем. Это уже не просто точка зрения, а сама суть нашего пребывания в мире. В ма­тематике трудно найти в этом золотую середину. Её когнитивная роль проблематична, но математика имеет большую потребность познания, достигая в некоторых своих разделах статуса науки. В то же время в ней заметна склонность к искусству. Модели окружающего мира служат для лучшего его познания и в то же время защищают от нежелательных воз­действий. Мы бы хотели, как монада Лейбница, быть свободными от воз­действий, нарушающих наш внутренний мир, отсеивая образы по своему желанию. Друг от друга мы воспринимаем только такие сигналы, которые указывают на определённый тип содержания. Этот способ коммуника­ции обеспечивает взаимное обучение. Таких сигналов тем не менее до­статочно, чтобы полностью уберечь нас от солипсизма. Мы, однако, ста­раемся, чтобы наш внутренний мир был ограждён от внешней пошлости. Оболочка монады защищает себя от превращения в китч хотя бы еди­ной деталью, пусть даже изъяном, ради отличия от окружающей среды.

Но всё же мы подпитываемся от внешнего мира. По Аристотелю, в нашем сознании нет ничего, что прежде не прошло бы через чувства.

Уже упомянутый Андрей Белый в романе «Петербург» передал поток сознания, который сам себя мыслит, а в романе «Москва» — идеи своего отца Николая Бутаева, называвшего себя неолейбницеанцем. Мудрость монадологии — во внешней недоступности внутренности монады. Нам не­доступны чужие мысли, но мы можем передаваемыми сигналами пробудить внутренний мир другого человека. Тогда понятно, как образуется связное общественное сознание.

Чувства, наполняющие мир S, борются за своё место в нём. Среди них мы видим также самое сокровенное чувство, направленное на формиро­вание конструкции. Назовём его математическим чувством. Матема­тическое чувство досадует, если не найдёт наблюдаемому явлению надле­жащего места в построенной структуре. Оно полностью удовлетворено, если размещение завершается удачно. Но оно испытывает, как и любое чувство, потребность впечатлений. Оно — не только свидетель создания понятий. Оно — как дирижёр, погружённый в эмоции, опутавшие весь концерт чувств, каждое из которых сопровождается своей мелодией или окраской. Мы не называли бы его чувством, если бы оно ограничивалось ролью курьера, доставляющего сообщения. Не будем вслед за Аристотелем отказывать математикам, а тем самым и математическому чувству, в инте­ресе к содержанию сообщения. Встроенные в мир S модели — не совсем те, что предоставляют нам чувства. Математическое чувство разглажива­ет их, придаёт им форму, может объединить два чувственных ощущения в одно. Так объединяются понятия прямой, луча света и натянутой нити. Но понятен скептицизм Философа при виде того, как часто само выпол­нение таких задач приносит удовлетворение. Как и всякому чувству, ему свойственны автоматизмы.

Математические факты простираются в далёкое прошлое, но та мате­матика, в которой факты связаны между собой мыслью, создана греками… Пифагорейцы и после них Платон высказывались за целостный подход к математике. Скептик Аристотель, однако, полагал, что в построении по­нятий нужно продвигаться постепенно. Разве не скептицизм Аристотеля породил критический дискурс понятий и их развитие? Первым известным примером этого дискурса был вопрос, состоит ли прямая из точек? Принять ли нам точечный континуум, либо согласиться с Демокритом, что структу­ра прямой — разрозненная, в виде лежащих рядом друг с другом атомов. На этом примере мы видим, как вокруг некоего феномена возникают те или иные мифы, называемые также полезными фикциями, которые обогащают данный нам образ. Отвергнем ли мы их за излишнюю фабульность? Где-то в основе такого рассказа лежит истина, а мы пользуемся ею на практике.

Математика перестаёт быть наукой о предметах, которые можно рас­сматривать только одним способом. Это уже было в достижениях древ­них философов, но эти взгляды как зрелые мы приписываем философам XIX века. Мы видим мир по-разному, — каждый раз с новым чувством или с иной стороны. Но, по Канту, в основе этих различных взглядов заключена вещь в себе. Говоря языком философов, все мы раньше были номиналистами.

Имея дело с фигурами геометрии Евклида и натуральными числами, мы, несомненно, номиналисты… Мы не дробим их сущность на аспекты и различия их понимания. Фигуры, высеченные в подлинном пространстве, даже такие своеобразные, как сфера Александера, замыкания плоских об­ластей Брауэра, или наследственные неприводимые континуумы Кнасте­ра, — это однозначно мыслимые и видимые нами объекты. В этом смысле классическая теория чисел тоже номиналистична. Это просто математиче­ская реальность, где мы лишь отмечаем свои наблюдения.

Но если мы многое можем сказать на какую-то тему, то зададимся на­конец вопросом о множестве миров. Вопросы такого рода привели мате­матиков к тому, чтобы взглянуть на природу математики также и с этой стороны. Математика создаёт систему понятий, посредством которой мы понимаем и познаём мир. Мы не знаем, однако, не заслоняют ли они нас от мира. Мы отмечаем с тревогой, что мир S наших мыслей может замкнуться в перечитывании и переживании взращённых в себе мифов, дающих математическому чувству пресыщенное удовлетворение. Об­разы, которые он создаёт, дают временное понимание вещей. Далёкую цель познания мы оставили Философу — если воспользоваться словами Аристотеля, скептически относящегося к математике. Заметим, что эго­изм — свойство не только этого чувства. Можно представить себе та­кую эгоистическую математику, хотя, наверное, мы используем слишком сильное выражение…

Метафизика

Нашему познанию мира предшествует уверенность, которая вме­сте с выросшими на ней убеждениями или даже, как пишет Алан Блюм, предубеждениями против того, что может прийти извне, составляет нашу метафизику. Математическое познание вместе с так называемым метафизическим сопровождением составляет то, что можно назвать математичностъю.

Большую загадку представляет первичное запечатление, которое про­является спонтанно; прежде всего, это первичный ритм, давший нам число. Это не поддаётся нашей чувственности, над ним не властно наше сознание.

В нашей метафизике и в нашей математичности оно имеет специальный статус. Мы не разрушаем число, когда его мыслим.

Число вне времени. Для числа не нужно пространство, где бы проявля­лось его присутствие. Можно представить мир, не имеющий ничего, кроме индуктивного ритма числа, не расположенного нигде. Мнение о незави­симости понятия числа от понятий пространства и времени приписыва­ют Дедекинду. Но до него были пифагорейцы, примат числа провозгласил также Готлоб Фреге, современник Дедекинда. Но он видел сущность числа в количественном, но не в динамическом аспекте, установленном посред­ством индуктивного ритма.

Хотя числу не требуется пространство, чтобы где-то находить­ся, но, желая освоить числа, мы пытаемся расположить их в удобных нам пространствах, поддающихся нашей чувственности. Это делал Евклид в VII книге «Начал» для обоснования действий над числами, и Гаусс, кото­рый для построения пространств, где могли бы находиться его числа, обра­тился к множеству. Хотя понятие о числе могло бы заключаться в себе, од­нако для числа характерно проявление во всей математике. Число служит математике, но, честно говоря, число навязывается. Впитывая в себя всё, что созвучно первичному ритму. Наш язык тоже имеет свой ритм, хотя не­известно, как он согласуется с числовым ритмом. Есть и иные встроенные в нас ритмы. Задумайтесь над связью математики и музыки.

По Фреге, число — это количественный аспект множества. Согласно Фреге, множество — это первооснова наших мыслей, о чём будут спо­рить философы. Ни Гаусс, ни его преемник Дедекинд не ставили множе­ство так высоко. Два множества соответствуют одному и тому же числу, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Здесь не различаются конечные и бесконечные множества. Эта же мысль выражена в ранней переписке Кантора с Дедекиндом. Кантор обогатил формирующуюся теорию указанием на две степени количественной бес­конечности — счётную и несчётную. Если бы он дал этому только одно доказательство — геометрическое, — получилась бы уравновешенная теория множеств. Его второе доказательство, называемое диагональным, арифметическим, задало теории скорость, за которой мысль не могла угнаться. Оказалось, что нет барьера количественного аспекта множества. Это связано с некоторой лёгкостью мысленного построения множеств, если нам не нужно воспринимать их чувственно. Количественный аспект множества встречает свой барьер только в виде знаменитой антиномии Рассела. Трудно примирить количественный аспект множества с число­вым первичным ритмом, который простирается дальше потока натураль­ных чисел, со своей собственной иерархией величины в смысле формиру­ющегося там порядка.

Мир S организуется в контексты, состоящие из суждений, соединён­ных между собой так, чтобы они оставались согласованными между собой. Согласованность суждений является выражением их взаимного приспо­собления. Мир S признаёт их за свои внутренние когерентные истины. Мы употребили множественное число, потому что эти контексты незави­симы, не претендуют на всеобщность. Поэтому в математике есть геоме­трия и арифметика, и ещё более узкие контексты, например логарифмы.

Истины соединяются когерентными связями только в определённых контекстах. Они автономны, и свободная структура их связей имеет неко­торое подобие с миром монад Лейбница. Истины передаются из одного информационного контекста в другой только в форме метафор, наиболее известны среди них те, которые переносят арифметику в геометрию, на­пример трактуя последовательно откладываемые отрезки как числа. Исти­ны, перенесённые метафорой в иной контекст, начинают жить там своей особой жизнью. Они превращаются во что-то новое, но мы отождествля­ем метафоры с их прототипами. Истины, перенесённые в другой контекст, обогащаются своим новым носителем. Если вернуться обратно в свою ис­ходную область, это тоже будет обогащение новым опытом. Наибольши­ми метафорами являются те, которые несут математические истины в дей­ствительность.

Истины мира S относятся к его внутренней гармонии, т. е. упомяну­той когеренции, и не претендуют на статус высшей истины. Перенесён­ные в реальность через метафоры, они могут столкнуться с фактами. Если мы не получаем соответствие, то изменяем построение мира S. Таким об­разом, мы можем назвать математику экспериментальной наукой. Опыту тоже придают метафоры, переносящие истины от одних контекстов в дру­гие, что позволяет взаимно корректировать истины. Математика развива­ется благодаря постоянному обмену опытом между контекстами. Но сутью истины остаются отдельные её монады, созданные в отдельных контекстах.

Математические истины более других оторваны от внешних ощу­щений, они посещают сознание буквально на мгновение. Известно, что доказательства, не записанные сразу в Шотландском кафе, были безвоз­вратно утрачены2. Математические истины, даже зафиксированные, было бы невозможно возродить, если бы они не были включены в наш чувствен­ный опыт и не использовались бы многократно. Они живут, передаваясь от монады к монаде, скорее как отблески, а не как пламя. Но, по словам Соломона Голомба, пожалуйте к нам ещё, и будет то же, что и раньше3. Мы платим за эту эфемерную стабильность истин высокую цену, отстра­няясь при их поиске как можно дальше от своего чувственного восприятия. Истины, воспринятые чувствами, замещаются наперекор своей внутрен­ней природе истинами в значении логической взаимосвязи. Отсюда слова Аристотеля, что математик, равнодушный к содержанию математической теоремы, согласится и с её отрицанием, если оно окажется истинным.

Мы чувствуем присутствие математической истины в нашем сознании только в состоянии её становления. Если мы хотим сохранить её, то только если она принята в сознании как собственная. Мы не сохраняли бы множе­ство истин, если бы математика — как хотели бы некоторые — была кни­гой или постройкой. Находясь в постоянном взаимодействии с внешни­ми и внутренними истинами, математика сохраняет живыми только свои активные истины. Есть среди них и такие, которые, достигнув совершен­ства, становятся общим достоянием, музейными экспонатами — как озё­ра Бады, либо украшениями галерей — как теорема Морли. Это ценность сама по себе, не предназначенная для каких-то целей. Вряд ли посторон­няя цивилизация, унаследовав наши книги, здания и упомянутую галерею, была бы способна их освоить. Математические истины бесследно исчезнут вместе со своим миром  S.

Пока предметом математики были простые фигуры геометрии и чис­ла в своих исключительно индивидуальных формах, платоновский взгляд на незыблемость математики казался несомненным. Но XIX век показал, насколько математика зависит от нас самих. Брауэр в начале XX века об­ратил внимание на влияние нашей логики на математические истины. Вмешательство логики полно безапелляционных установлений, заполня­ющих мыслительные пробелы. Эти пробелы могли бы оставаться откры­тыми, но логика — чувствительная к horror vacui — закрывает их непосред­ственное участие в мнениях, которые застывают. Логика не создаёт форму мира S, ей нужно только упорядочивать и поддерживать уже построенные структуры… Во многих случаях мы чувствуем её сдерживающее влияние. Закрывая мысленные каналы, она освобождает нас от борьбы с пробле­мами, решая их за нас. Случается, мы поддаёмся и пользуемся этим выгод­ным даром. Мы бы передумали, если бы сумели найти какое-то внутреннее чувство, управляющее нашей логикой.

Именно наши чувства построили богатство и жизнеспособность кон­струкции, установленной миром S наперекор внешнему миру. Однако в са­мом характере чувства есть эфемерность и игра. Чувства вводят нас в за­блуждение, вовлекая в игру, преследуя свои цели. Не обманывает ли нас и математичность?

В нашем понимании природы должно помочь изучение живых организ­мов. Однако мы с опасением обращаемся к этому знанию, не будучи гото­выми к использованию открываемых здесь истин. Райское древо добра и зла и скала Прометея служат предупреждением. Такой страх перед знаниями сопровождает человечество с момента его создания. Это не касается са­мой математики, но её метафоры чреваты далеко идущими последствиями.

От математики проистекает опасность другого рода. Представьте, что естественные науки объяснили бы нам, как понятия возникают в на­шем сознании. Вся поэтичность математики исчезнет. Захотели бы мы про­должать заниматься такой математикой? Мы предоставили бы это другим. Но это может повлиять не только на математику. Мы развиваемся благо­даря мифологии, где таится неизведанное.

О математике

Математика сама создаёт свой мир. Одна из составляющих этого мира — стихия (первоэлемент), являющаяся числом с его ритмом, незави­симым от наших мыслей. Но есть ещё основа, которую составляют множе­ства и вокруг которой мы создаём мифы, позволяющие нам освоить и упо­рядочить полученные образы. Наконец, есть формирующаяся интуиция, которая не ожидает образа пассивно. Мы персонифицируем все эти вещи, потому что только так их можно понять. Нашей позицией в этом мире всегда будет какой-то фиксированный контекст. Мы не охватываем целое, хотя где-то вдали оно обрисовывается.

Арифметика — это искусство обслуживать числа. Мы не знаем, какие они, может, даже не знаем, для чего они предназначены, мы только знаем, как. Однако вряд ли это искусство происходит из самого ритма индукции. У нас нет уверенности, что ритм индукции был бы заинтересован в сложе­нии и умножении чисел. Мы видим это в рассуждении Евклида, который в VII книге «Начал» для введения этих действий переносил с помощью ме­тафоры числа в геометрию, интерпретируя их как многократно взятые от­резки. Понятие поля мы обосновываем через умножение. Евклид не делал того, что сейчас делаем мы в курсах арифметики, определяя эти действия индуктивно. Но и в наше время мы тоже стараемся иметь числа в воплоще- ниях. Это выражение заимствовано от Моисея Мендельсона4, философа конца XVIII века. Число развивается через воплощение. Из геометрии оно приобретает количественные признаки. Приходит обоснование для дро­бей. Наконец, при столкновении с физическим континуумом появляется идея числовой непрерывности. Так называемая «реальность» стремится к численности, особенно геометрия, величины которой постепенно вхо­дят в статус чисел. Было бы упрощением связать этот процесс с каким-ли­бо историческим периодом. Евклид является символическим примером. Наше числовое чувство формировалось в течение всего периода эволю­ции, причём не обязательно в контакте с чистыми числами, а с их воплоще­ниями. Это мог быть упоминавшийся День Шестой, в котором произошло формирование нашего сознания.

Отдельные числа встречаются независимо от первичного ритма. Они воспринимаются чувственно в воплощениях, в виде геометрических орнаментов либо как чувственно воспринимаемое количество. Поэтому в понятии числа есть некоторая трудность. Мы не нуждаемся в ритме ин­дукции, чтобы увидеть число 3. Числа 13 и 7, как наиболее выразительные, познаются нами раньше, чем число б, которое появляется даже позже, чем библейские десять тысяч. Ян Потоцкий словами Веласкеса убеждает нас, что числа фигурной природы не чужды братьям нашим меньшим5. Кажется, мы познаём их с чувством, близким тому, которым даны нам геометриче­ские фигуры. Об этом пишет биолог Грегори Бейтсон в известной кни­ге «Разум и природа»6, придавая фигурным числам исключительную роль в живом мире. Они неизвестны, как он пишет, в неживой природе.

Можно заинтересоваться, почему исторически так медленно развива­лось наше освоение чувственно воспринимаемых чисел? Откуда берутся трудности с малыми числами? Откуда — трудности в применении несколь­ких шагов чистой логики? Математикам, и не только им, известны выгля­дящие парадоксальными некие диспропорции в эффективности нашего мышления. Даже хорошие математики ощущают беспокойство, когда им нужно сосчитать дроби или провести строгое доказательство на языке эп­силон-дельта, хотя им легко выполнить рассуждение на высоком уровне; вспомните гениев теории чисел.

Желая избежать биологической аргументации, прибегнем к умерен­ной мифологии. На развитых стадиях обращения с числами мы попадаем в области, в которых осознаётся влияние первичного ритма, придающего деятельности неожиданное ускорение. Сознание освобождается от оков метафизического наблюдения. Оно нарушило бы свободную мелодию, ко­торая прихотливо льётся, находя себе окончательное место.

В поддержку этого аргумента пусть послужит наблюдение некоторой асимметрии, присущей арифметике. Первичный ритм способствует умно­жению. Определение умножения не нуждается в обосновании через сло­жение. Ритм индукции перемножает простые числа через повторение. Ин­дукция подготовила базу для расширения этого приёма на произвольные числа, в виде разложения числа на простые множители. Сознание в значи­тельной степени освобождено от обязанности следить за значением ре­зультата действия. Сложение не обладает таким даром. Действие сложения контролируется постоянно бодрствующим сознанием. Эта асимметрия касается не только арифметики.

Геометрия — это математика зрительного чувства. Некоторые про­стые истины, продиктованные чувством — дополненные чувством ося­зания, — стали базой, на которой Евклид основал свои «Начала». В ней числа живут в симбиозе с фигурами на равных правах. Многие научные наблюдения можно сделать с первого взгляда. Геометрические истины на­глядны и принимаются как аксиомы. Зрительное чувство быстро и внушает большое разнообразие навязчивых ощущений. Поэтому наша математичность осторожна. Геометрия не полностью доверяет зрительному чувству, даже вместе с достоверным чувством осязания. Наконец, она применяет логику для одобрения своих истин. Геометрическое доказательство опи­рается на выполнение логически непротиворечивых мысленных действий и на одобрение опытом столяра и чертёжника, где преобладает осязание. Не обязательно видеть аксиомы геометрии как её фундамент, но скорее как источник, которым прирастают знания. Мы иногда удивлялись, что в школьные времена доказательства встречались прежде всего в геометрии, тогда как в арифметике истины удивительно надёжны и суждения здесь не имеют значения, только иногда нужно кое-что проверить.

Многие истины «Начал» заключаются в так называемых «определени­ях», которые по существу являются объяснениями понятий, часто попыт­ками их понимания, а иногда предостережениями от их неосторожного восприятия. Ибо как иначе относиться к таким объяснениям, и одновре­менно предостережениям, как определение «линии», которая есть «длина без ширины». Эти два последних понятия не объясняются, лишь указано, что то, в чём мы наблюдаем ширину, не является линией, а если мы не видим никакой длины, то не относим это к линии… «Начала» не являются зам­кнутым трудом. Считается, что это сумма знаний, ранее известных Фалесу, пифагорейцам, а позже Евдоксу.

Понятие пространства появляется у Евклида как бы на периферии его размышлений, посвящённых геометрическим предметам, которыми яв­ляются фигуры. Но философам всегда не хватало этого вместилища, в ко­торое погружён некий объект размышлений. Мир наших мыслей требует заключать в чём-то всякий набор вещей. Пространство необходимо наше­му уму, и можно только удивляться, почему это понятие не дано нам апри­орно? Априорные понятия обладают собственной градацией. Понятие пространства в математике формировалось медленно, и можно проследить это исторически. Оно вошло в математику для потребностей астрономии и физики, но как философское и математическое понятие оно не зависит от физического мира. Оно нужно нашей мысли для завершения своих по­строений.

Античная математика, в соответствии с Аристотелем, — наука о не­подвижном. Это было самоограничение, вызванное парализующей разум апорией Зенона о стреле, блокирующей понимание движения. Между тем движение и изменчивость — суть физических явлений. Аристотель посвя­тил целую главу в «Физике» возрастанию и убыванию. Ситуации, в ко­торых мы видим изменения, далеки друг от друга. Это может быть путь, удлиняющийся со временем, интенсивность цвета или темп прибывания воды в потоке. Ощущение этих явлений не так очевидно, как визуальное восприятие. Интенсивность силы, ощущение интенсивности цвета, чув­ство нарастания скорости постигаются нами целым комплексом чувств, опосредованно, но в какой-то умеренной (темперированной) целостно­сти. Возможно, поэтому законы, регулирующие изменения, интенсивность и скорость, так долго не имели определённых формулировок.

Идею общего математического понятия изменения восприняли схо­ластические философы XIV века. Вычислители7 из Мертон Колледжа в Оксфорде и философы Парижа исходили из того, что непосредствен­но наблюдению подлежит не величина (количество) изменения, а её ин­тенсивность. Мы наблюдаем не количество воды в потоке, а интенсив­ность течения… Интенсивность изменений, наблюдаемых в указанном диапазоне, определяет количественное изменение. Одним из замечатель­ных примеров выступила интенсивность Божьей благодати, нисходящей на человека, которая в нём количественно накапливается, суммируется тем способом, который позже Ньютон и Лейбниц назвали интегралом. Есть также интенсивность силы, которой обладает движущееся тело, определя­ющей его динамику — а следовательно, и скорость. Таким образом, если на тело воздействует сила, — так, как при свободном падении, — неизмен­ная во времени, то скорость возрастает во времени равномерно. Схоласты доверяли запечатлённым в нас чувствам, позволяющим ощущать степень напряжения взаимодействий. Эти чувства действительно неясны, но не об­манывают нас. Они позволили схоластам сформулировать закон свобод­ного падения, который позже Галилей проверил экспериментально.

Идеи XIV века полностью вошли в математический анализ Ньютона, в котором, по его словам, геометрия Евклида обогатилась наукой о движе­нии. Математика схоластов и Ньютона вновь почерпнула полную горсть из чувственно доступного нам мира. В своих истоках она была свободна от арифметического влияния. Это было ещё тогда, когда Ньютон формули­ровал законы динамики и включил в них законы Кеплера о движении пла­нет, и даже тогда, когда Бернулли занимался проблемой брахистохроны, а Эйлер — проблемой струны.

Но вернёмся к нашей мифологии, — к понятию Дня Шестого. Ин­тенсивность изменений имеет некоторое подобие с числовым ритмом Дня Первого. Это как бы ритм непрерывного наполнения. Подобно ариф­метическому ритму, он заставляет задуматься над разнообразием вопло­щений, придавая математическим понятиям новый, ускоренный темп развития. Уже не требуется сотни лет, чтобы исчисление превратилось в уравнение струны у Эйлера. Вспомним, что именно интенсивность — ве­личина, которая так трудно определялась, — непосредственно наблюдаема и измерима. Эту истину выражает нам дифференциальное уравнение, ко­торое по отношениям между интенсивностями обещает восстановить от­ношения между самими величинами, недоступными непосредственному наблюдению.

Исчисление указывает, что наши мысли обладают скрытым от нас не­прерывным ходом. Мы навязываем миру, кроме ритма последствий, ещё и непрерывный ход событий. Итак, у нас два способа видеть явления. Наша межличностная экспрессия требует атомизации мысли в предложениях. Но в невербальных ситуациях — а таковыми являются доматематические ситуации — она выражается в непрерывном потоке мысли.

Мотивация анализа строится на более широком круге ощущений, чем те, которые доставляет геометрия. Оказывается, чувство ощущения време­ни, интенсивности силы и ощущение нарастания величины имеют много способов воплотиться в математические ситуации. Метафизичность этих мотиваций ощущается ненавязчиво, но в целом намного сильнее и уве­реннее, чем в области классической геометрии. Обоснования анализа, как правило, не являются нашими прямыми убеждениями, связанными с лич­ным опытом, но похоже, что результатом за?гечатления их в нас — пользу­ясь словами Конрада Лоренца — на ранних стадиях нашей эволюции, хотя, возможно, не в День Первый. Ю. Словацкий в книге «Генезис Духа» благо­дарит муравья, опытом которого руководствуется.

Исчисление — более, нежели любая другая дисциплина, — раскрыва­ет сущность интуиции. В самом деле, если математик говорит об интуи­ции, то имеет в виду исчисление и всё то, что с ним связано. Интуиции, которые лежат в основах геометрии Евклида, слишком просты, чтобы их роль была обнаружена. Чувство, контролирующее исчисление, скры­то в нас глубже. Хотя интенсивность силы, бег времени и мгновенная скорость нам не очевидны, но мы доверяем идущим от них сигналам. Интуиции, лежащие в основе исчисления, выдержали нападение многих методов, превратив следы мнимых поражений в произведения искусства, навсегда украсившие математику.

Интуиции, которые привели к открытию исчисления, выглядят как суммарный доматематический опыт, как интегральный опыт предсознания, не только нашего, но и всего хода эволюции. Бывает, что мы не дове­ряем интуиции, а Паскаль добавлял, что это оттого, что она слишком часто бывает безошибочна. Галилей не доверял интуиции и проверял. Точно так же не доверял интуитивному пониманию аксиом геометрии Декарт, заме­нивший метод Евклида своим арифметическим методом координат. По­добно им и Лейбниц, развивая свою область анализа, избегал пути нью­тоновской интуиции. Ценность интуиции не в лёгкости, а в уверенности, которую она доставляет.

Точно так же, как с числами, мы не знаем, чем являются время и про­странство, если отвлечься от их конструкций, которые предоставляет нам математика, и которые служат нам при устройстве в мире наших мыслей явлений, их порядка и развития. Математически мы можем только измерять время. Но нет универсальной меры — в виде универсального потока, — подобной числовому ритму. В каждой из отдельных задач мы полагаемся на убеждение, что данный тип временного потока существует, и пользуем­ся им как параметром. Интуиции мы черпаем из нашего чувства времени как континуального потока.

Мы видим природу математически. Мы не можем иначе. Но, когда мы говорили о мире S и встроенной в него структуре понятий, мы не раз­деляли математические и нематематические. Математика появляется лишь в тот момент, когда в общем исследовании преобладает выделение точности (строгости). Но неригористические (нестрогие) фазы рассуждений — это тоже математика, хотя мы бы предпочли назвать её математичностъю. Мы не исключаем, что всё, что воспринимаем в мире, математично хотя бы потенциально. То, что в доступном нам диапазоне явлений природа математична, представляется тавтологией. Но то, что явление остаётся за пределами математики, не значит, что оно нематематично. Если вслед за Шопенгауэром принять, что внешний мир — это воля и представление, то придётся предположить, что природа обязана нам своей математичностью. Но нам принадлежат математические детали, та­кие как квадрат в законе тяготения.

Закон дал Творец, который не дол­жен заранее видеть квадрат, так как он появится, приспособляясь к нашему восприятию. Авторитет Творца не уменьшается, наоборот, он усиливает­ся, если не требовать, чтобы Он одновременно с нами создавал математи­ческие формулы.

Математические истины являются истинами нашего мира Они исчезнут вместе с нами. Так называемые «математические объекты», в ко­торых заинтересованы математические реалисты, существуют только в нас. Они физически недосягаемы. Достижения погибших цивилизаций хранятся в музеях, но там нет их метафизических и математических дости­жений. Они навсегда утрачены вместе с погибшей цивилизацией.

Крепко ли это держится?

Фраза «что такое математика?» банальна, хоть и нова, так как раньше математики знали, что ответить. Математика была для них «наукой о чис­лах и фигурах», и этот вопрос не будил эмоций. Теперь такая постановка вопроса встречается в названиях книг.

Нет такого понятия, как вся математика. Есть математические науки, а о самой математике редко говорят как о науке. От науки требуется, чтобы был предмет исследования. Если что-то и может объединить математи­ку в целое, это не может быть предметом. Это могла бы быть форма, если бы математика развивалась, как растёт дерево. Так и было до недавнего времени, до начала XIX века. В прошлом, в Античности, всё шло последо­вательно. Арифметичность воплощалась в геометрии, сама при этом обо­гащаясь новыми структурами. Она оставалась наукой о неподвижных сущ­ностях. Европейские схоласты и, наконец, Ньютон нашли способ ввести в математику движение. В математику вошло пространство и время и не­обходимые для них мыслительные конструкции. Нынешняя математика мчится огромными скачками к проблемам, которые порождают множество несвязанных между собой анклавов. Она может расти из всякого места, и часто растёт — иным способом — в местах, уже ранее метаматематиче­ских. При этом вокруг этих областей исследования создаётся эманация об­щих понятий, и ещё неизвестно, математика ли это.

В этих высоких разделах появляется математическое творчество, крайне различно оцениваемое. Творчество Кантора не одобряли выдаю­щиеся математики его эпохи: Кронекер, Пуанкаре, Вейерштрасс и даже Дедекинд. Кронекер вызывающе заявил, что математика не нуждается в расширении понятий. Он провоцировал, но при нынешнем состоянии математики это заявление уже не выглядит таким наивным. Подлинное творчество не знает сигнала «стоп». Это позволяет развиваться свобод­ным искусствам даже в вакууме.

В математике мы ценим прежде всего открытия. В свое время Платон утверждал, что математические понятия имеют абсолютное бытие, не сра­зу известное нам, и их, подобно островам Тихого океана, нужно открывать. Для нас таким математическим анклавом осталась теория чисел, уводящая в неизведанный мир, а открытие теорем подобно открытию новых земель или новых звёзд. Нет необходимости связывать все эти выводы в одно целое. Мы не ищем связи гипотезы Гольдбаха с числами-близнецами.

Математический анализ сам по себе явился открытием. Но это было открытие нового мира, а не острова в Тихом океане. Дорога к открытию исчисления — это перебор пластов нашего мышления для поиска отправ­ной точки развития правильной интуиции, а потом спрямление её ошибоч­ных дорожек. Только после открытия схоластами Мертон Колледжа пра­вильного направления и первой математизации в виде теории неделимых Ньютон увенчал поиски вспышкой творческой мысли. Мы не называем этот процесс мышления одним словом, потому что он в равной степени был и открытием, и творческим процессом. Мы старше Платона более чем на две тысячи лет, и мы не мыслим так просто. Потом у нас был Кант, который выяснил происхождение понятий, принимаемых нами как абсо­лютные. Математические открытия зарождаются в смутных ожиданиях, которые в потоке творческой деятельности становятся надёжными эле­ментами математики. Таким образом, не стоит спрашивать, создаёт мате­матика или открывает, хотя взгляд на открытие более симпатичен.

Но и энтузиазм по поводу открытий имеет свои границы. Математи­ка — не монолит. В ней есть конкурирующие силы. Есть много взаимно деструктивных сил, занимающих чужое место. Далеко идущая арифметич- ность может разрушить даже число в его естественной форме. Существует необходимость в защите математики от проблем, которые имеют только вкус рекорда. Нас ставят перед вопросом: верно ли, что большим матема­тическим открытиям способствуют великие, даже катастрофические со­бытия? Если так, то потому, что они раскрепощают мысли и воплощают многочисленные математические страхи. Обратное неверно. Ни словес­ные заклинания, ни усердные прогулки, ни вызванные войной потрясения сами по себе не вызывают вспышки понимания и не служат причиной ма­тематических открытий. Не следует мучительно доискиваться оправдания их происхождения.

Нелюбимой является дедукция. Теоремы возникают раньше доказа­тельств. Теоремы античной геометрии были известны столетиями, прежде чем они появились в «Началах», где нашли поддержку в виде аксиом, т. е. более очевидных и простых утверждений, из которых удавалось вывести мысленное доказательство. Теоремы, приписываемые Фалесу, были из­вестны до того, как на основе аксиом была разработана теория параллель­ных и теория подобия фигур. Теория площадей подобных фигур из X кни­ги «Начал» послужила опорой ранее известных квадратур Гиппократовых луночек. Для математики опасны теоремы, вошедшие в неё только потому, что у них есть доказательства. Так случается в тех частях математики, где мысль не оказывает никакого сопротивления формализму.

Дедукция соединяет математику. Она не даёт математике направле­ния. Дедукция не может выйти за пределы истины, если она уже в ней на­ходится. Это большое преимущество. Дедуктивная математика не может лгать. Математики тоже. Но хотя быть правдивым требует определённых усилий, однако только формулировка не вполне уверенных мнений даёт надежду на развитие. Так называемые настоящие математики хотя не це­нят дедукцию, но ещё более не ценят творчество. И все же они продвигают математику вперед.

Складывается впечатление, что математика слишком много на себя взяла. Она хотела ответить на все вопросы, быть слугой всех наук, распы­ляя свои силы во всех направлениях. На наших глазах пали её величайшие столетние проблемы, а насыщение потока математических результатов превосходит всё предшествующее. Но можно ли её сравнивать с дости­жениями космологии, физики и биологии, которым покровительствовало множество нобелевских лауреатов и которыми полны иллюстрированные журналы? Кто расскажет о тех одиноких математиках, которым мы обяза­ны решениями проблем Ферма, Бибербаха и Пуанкаре? Кто попытается хотя бы приблизительно описать путь их открытий и ответить на вопрос, почему мы так заинтересованы в решении этих проблем? Потому что, если посмотреть более внимательно, они даже ничего не дают самой мате­матике. Даже наоборот, потому что после разрешения этих проблем мате­матика обеднела.

Можно, однако, признать, что математика уже достаточно развита, и требовать постоянного её развития было бы признаком какой-то навяз­чивой идеи. Почему мы так зависим от математики? Разве это не те тео­ремы, которым найдено доказательство и которые достигли статуса до­стойных экспонатов коллекции? Или это нужно скорее для поддержания мыслительного напряжения, того беспокойства, которое сопровождает математические исследования? Это напряжение даёт нам почувствовать жизнеспособность мысли. Но если кто-нибудь спросит нас о направлен­ности исследований в области математики, мы не ответим. Не ожидайте от математики многого, как сказал Марк Кац. Философа, который, соглас­но Аристотелю, может помочь математикам в выборе пути, не существует.

Спустившись со сцены поколений и видя нынешнее хаотичное разви­тие математики, спросим, не превратится ли она во что-то, что не хоте­лось бы видеть как математичность. Хотелось бы, чтобы математика могла произрастать на любом месте. Но ещё Философ предупреждал, что неко­торые вещи должны быть оставлены как нематематические. Мы не нахо­дим во всех новых исследованиях того колорита метафизичности, который сопровождал прежние числа и фигуры, и тех оживших надежд, которые сопровождали зарождение анализа. Кроме того, многие новые математи­ческие дисциплины выглядят второсортными.

Естественные науки перестали быть щедры на проблемы. Именно бла­годаря им математика развивала новые области исследований и развивалась сама. Этой потребности не соответствует чрезвычайно математизирован­ная физика, которая полными горстями черпает готовые формализмы, поэтому её проблемы математически вторичны. Понимание микромира могло бы расширить математические методы, если бы оно развивалось независимо от заранее приготовленной математики.

Сохраняющаяся ныне интенсивность потока математических откры­тий обусловлена не до конца исчерпанным запасом средств и ранее постав­ленных проблем. Залежи, которыми математика так обогатилась, исчер­пываются, как истощается разработанная шахта. Мы не думаем, что этот запас средств и проблем, хоть и исчерпаемый, иссякнет для ближайших поколений. Но, замкнувшись в нём, математика могла бы развиваться сама для себя. В ней всегда было самолюбивое течение, но её новые «числа и фи­гуры» заточают математиков в жёсткие рамки оторванной от естественных наук профессии.

Нужно ли что-то сделать, чтобы в математике не гоняться за всякими не подчинёнными нашим метафизическим ожиданиям целями и прони­каться истинами, о которых нечего сказать, кроме того, что они взаимно непротиворечивы? Этому способствует взгляд на математику как на сра­зу изготовленную постройку. Но если мы видим математику как чувство, как смысл, тогда каждая сказанная нами фраза будет выражать нашу уве­ренность в понимании нас самих. Если мы видим перед собой постройку, то сталкиваемся с искушением экстремизма, что в конце концов означает алгебраизацию.

В принятой традиции finis обычно видят как опасения и катастрофы. Сейчас одна из катастроф, которая угрожает математике, — уход на свой путь её нематематических отраслей. Их много. Образующиеся здесь стремления не уступают по силе развития другим наукам в погоне и скоро­сти. Но они возвращаются к математике, потому что в нас есть отдалённое ощущение, что последнее слово в науках и философии — это привилегия математики.

 

Перевод с польского Галины Синкевич

Ежи Медушевский. Внутренние истоки математики// «РУССКИЙ МIРЪ. Пространство и время русской культуры» № 10, страница 262-280

Скачать текст

 

 

Примечания
  1. Carrel Alexis. Człowiek istota nieznana. Warszawa, 1935.
  2. Kawiarnia Szkocka во Львове — кафе, где в первой половине XX века собирались математики. В их числе были Банах, Улам, Серпинский, Штейнхаус, Мазур и многие другие. Обсуждая математические вопросы, они записывали свои рассуждения карандашами на мраморных столах.
  3. Golomb Solofnon. Mathematics after Forty years of the Space Age. Mathematical In-telligencer, 1999. Vol. 21, No 4, P. 38-44.
  4. Mendelssohn Moses. O oczywistości w naukach metafizycznych. Uniwersytet Wrocławski. 1999. (Moses Mendelssohn. Abhandlung über die Evidenz in metaphysi¬schen Wissenschaften (1764). Nabu Press, 2011).
  5. Potocki Jan. Rękopis znaleziony w Saragossie. Warszawa, 1964. Рус. пер.: Потоцкий Я. Рукопись, найденная в Сарагосе (1797). М.: Наука, 1968. 624 с.
  6. Bateson G. Mind and Nature: A Necessary Unity (Advances in Systems Theory, Complexity, and the Human Sciences). Hampton Press, 1979.
  7. В историко-математической литературе их называют также Калькуляторы.